2011年11月28日月曜日

性的地獄/透明雑誌

台湾のナンバーガールと呼ばれているバンド、透明雑誌(Touming Magazine)が気になったので、
性的地獄という曲のvideoを貼りつけておきます。
バンド名や曲名にナンバーガールの影響が濃いようですが、音は結構爽やかです。
歌詞が読めないので変態度は図りかねます。

BONNIE PINK Acoustic Live Tour 2011 "@thebackroom" を見に行きました。

表題の通り、行って来ました。
私が初めてBonnie Pinkを知ったのは某アニメのエンディング曲 "It's Gonna Rain" で、確か当時中学生か高校生だったように思います。
学生の頃にアルバムを3枚「Just a Girl」「Evil and Flowers」「Let Go」あたりを持っていたのですが、近年は音源をチェックすることもなく、ライブにも行ったことがありませんでした。
A Perfect SkyがCMに使われて頻繁に耳にするようになった頃も何となくスルーしてきました。

しかし、最近テレビで過去音源のアコースティックライブを行うという情報を目にしたので、何を思ったか見に行こうかなという気が起きていまい、Back Roomと過去の音源をチェックを始めました。その結果、現在かなりハマっています。いい曲いっぱいあるんですねぇ。アルバムはほとんど買い揃えました。
まだ全体を把握しきれていないのですが、好きなアーティストやアルバムを見つけたときは、そのくらいの時期が妙に楽しいものです。

ライブは終始座って観覧する形式でした。
そのような体験は初めてだったのですが、その分曲を堪能できました。
1曲目にいきなりBack Roomの中で一番好きなRing a Bellが始まったので、あとはどうしようかと思ってしまいましたが。演奏も歌唱も安定していて、良くも悪くもCDを聴いた期待を裏切らないライブでした。原曲と異なるアレンジが必要だったためか、Back Roomに収録されている曲以外は殆どなかったように思います。
ライブを見てすっかりファンになってしまいました。これからは新譜もチェックしていこうと思います。

promisering, black sabbath 再結成

ネットをだらだら眺めていたところ、promiseringとblack sabbathの再結成ニュースを発見しました。
promiseringはライブと未発表音源(wood/waterに未収録のものらしい)の発売を予定しているということで楽しみです。

black sabbathの方はオリジナルメンバーによる再結成で新譜も発表するそうです。確か皆還暦を過ぎているはずです。ビル・ワードはドラムを叩けるんでしょうか。Reunionでも怪しかった記憶があるのですが…。

2011年10月24日月曜日

Ubuntu 11.10でもTeX Live 2011への追加日本語パッチが通った

タイトルの通りですが、TeX Live 2011 への追加日本語パッチについてにおいて10月23日付のtl11supp-111023.tar.xzで
「TeX Live 2011 の上流の SVN branch にあたっている各種パッチを取り込みました」
ということだそうで、このパッチを使うとUbuntu 11.10でもコンパイルが通るようになりました。

ありがたや。ありがたや。

コンパイル時に必要なパッケージはptexliveの動作報告121にあるように

nkf build-essential bison flex libpng12-dev libgd2-noxpm-dev libncurses5-dev libice-dev libxaw7-dev x11proto-print-dev libmotif-dev libt1-5 libfontconfig1-dev cmap-adobe-japan1 cmap-adobe-japan2 gs-cjk-resource

でよいのではないかと思います。libxaw7-devとlibmotif-devはpxdviの外観に関連するもので、パッチのなかにいずれかを選択する項目があるのでいずれか一方だけ入れておけばよいです。libmotif-devだとボタンが立体的で、libxaw7-devだと平面的な感じになります。

このパッチではSyncTeXもサポートされているので試してみたいのですが、Emacs <-> Evinceの間の相互参照でYaTeXを用いるものに関する情報はあまりないようで、自分でどうこうする技量のない他力本願な私はもう少し様子を見てみたいと思います。

2011年10月21日金曜日

Ubuntu 11.10をインストール texlive2011日本語化パッチは失敗

Ubuntu 11.10が出たみたいなのでインストールしてみました。
現在はUbuntu 11.04にtexlive2011を日本語化パッチを当てて導入しているので、
Ubuntu 11.10でも苦労せずコンパイル出来るだろうと思っていたのですが、どうもうまくいきません。
testの段階でエラーが出ているようなのですが、対処法がよくわからない状況です。

うーん。どうしたものか…。pxdviが使いたいんだよなあ。

2011年10月12日水曜日

Bamboo Paper on Ubuntu

iPadの手書きアプリにBamboo Paperというものがあります。
このアプリのMacやWindows用のソフトが公開されていることをNecojitaさんのiphone painters japanの記事から知りました。ペンタブレットを持っていれば、Bamboo Paperと同様に手書きメモを取ることに利用可能で、さらにipadで書いたものとの連携も相互に取れるそうです。

ダメ元でUbuntu 11.04のwine 1.3.29にインストールしてみたところ、動くではありませんか!
私はペンタブレットを持っていないのでマウスで試し書きしてみた程度ですが、きちんと動いているようです。実用的にも十分なのではないでしょうか。Ubuntuでもペンタブレットが使え、手書き用のソフトとしてもXournalなどがあるようですが、ネットの記事を見るとイマイチ使い勝手が良くないようです。昔Intuos 3を持っていて設定だけは行ったことがあるのですが、Xournalなどのソフトの存在を知らず人に譲ってしまったことが今悔やまれます。

ipadとの連携はさすがに無理かと思いますが(試していませんが)、Ubuntuでペンタブレットを利用している人にも朗報なのではないでしょうか。
こちらのページからMacやWindows用のインストーラがダウンロード出来ます。もう一度ペンタブレットを購入してみようかな…。

2011年10月6日木曜日

Adonit Jot 感想

Adonit Jotが届いてから一週間経ちました。使っているうちに不満な点なども出てきたので、感想を書いてみたいと思います。

私が購入したのはJotのpurpleとJot Proのsilverです。ほとんどJot Proのほうを使用しています。
まず、質感やデザインには文句のつけようがありません。質感や重量はWacom Bamboo Stylusに近いものがあります。

書き込んでいる部分が直接見えるので、先端がゴム製のものに比べて勘で書くようなことがないのは気分が良いです。先端のDiscの可動角度の範囲が40度となっているのですが、使ってみると思ったよりも狭く感じます。私は割とペンを寝かせて書くようで、意識してペンを立てていないとDiscが浮き上がるような感触がしばしばあります。

また普段ノートを取るときには1cm四方よりも少し小さいくらいの文字を書いているのですが、そのくらいの大きさの文字をスピードを上げて書こうとすると線が欠ける割合がかなり多いようです。同じくらいの大きさの文字を書こうとしても、Bamboo Paperの中太のペンやPenultimateの最も細いペンくらいの太さの文字であれば反応がよいです。Bamboo Paperの細いペンで書こうとすると認識されないことがしばしばあります。
以前はUPADを好んで使っていたのですが、細いペンを使い拡大機能を使わずに書こうとすると、かなり悲惨な結果になります。拡大機能を使うならばUPADが最も好きなのですが。

反応性で言えば、Wacomやプリンストン、acaseのスタイラスの方が良いのではないでしょうか。使い慣れた人であれば、Wacomなどのスタイラスのほうが細かい文字を綺麗にかけるかもしれません。私にとっては手元が見えるほうがより正確な字が書けるようです。

しかし1cm四方よりも少し大きいくらいの文字を書くのであれば、線が欠けることもなく書き心地は非常によくなります。

拡大機能を使わず文字を書くのであれば、Bamboo PaperとPenultimateが甲乙付けがたいです。Bamboo Paperは細い文字を書くことが出来るところがいいのですが、手のひらを認識してしまうところが不満ですし、Penultimateのほうはペンが割と太いものしか用意されていないのが玉に瑕です。どちらもマーカーが用意されればよいのですが。
またNoteshelfでの書き味も良く、拡大機能を使っても使わなくても似たような雰囲気の文字を書くことが出来ます。書き心地では前者2つが頭一つ抜けている感じですが、Noteshelfは総合的に見ると一番といったところでしょうか。これ以外のアプリでは、Note Taker HDもそこそこ使えそうです。

かなり良い線をいっているのですが、紙とペンと同じようにガシガシノートを取る気になるかと言われれば微妙です。もう少し細かい文字が難なく書けるようになって欲しいところです。

前回の投稿に比べていささかトーンダウン気味ではありますが、
いずれにせよ書き心地の良さでは最高クラスに属しているという印象は変わりません。
byzeroのスタイラスはこれをさらに超えてくれるのではないかと期待しています。

NoteSlateやinkTabが登場するとなおよいのですが…。

2011年9月28日水曜日

Adonit Jot 到着

Adonitから月曜に発送メールがあり、到着は1〜2週間先かなと思っていたら、本日到着しました。
デザインの良さと質感、書き易さとも自分の所有している他の5本のスタイラスの比ではないです。
書いている部分をしっかり視認出来るところがそう感じさせているのだと思われます。

手にする前はDagi p504と似た感じかと思っていましたが、精度も書きやすさも段違いでした。
Dagiのほうは先端のdiscにバネが付いているため、自分では画面からペンを離したつもりでも、バネの弾性によりdiscが画面からしっかり離れておらず、意図しない線を引きずることが多いのですが、Jotはdiscが自由に動くのでそのようなことが起こりません。

これが本格的に売りだされれば、他のスタイラスは売れなくなってしまうのではないでしょうか。
自分にとってはもう他のスタイラスの出番は無くなってしまいそうです。

パッケージも非常にかっこ良く、開けるのが躊躇われました。下はKickstarterのページで公開されている画像です。ただ最初は開け方がよくわからずに困りました。



Kickstarterのページで先端のdiscについての問題点が色々挙げられていました(discが分離する、グレアのカバーに吸着するなど)が、替えのdiscも同梱されていました。Kickstarterのページの更新されたメッセージを読むと、替えのdiscは問題点が改善されているようです。
現在ははじめから付いているdiscを使っているのですが、グレアタイプのカバーに吸着する感じはあるように思われます。カバーをマットタイプのものに変更したほうがよいかもです。

私が予約をしたときには4週間待ちで実際は5週間程待たされましたが、Kickstarterの出資者に配送をしていたためで、現在注文するともっと早くの到着を見込めるようです。

これでipadでノートを取ることも出来るかもしれないと思えるようになってきました。
Bamboo PaperやPen Ultimateなどの拡大機能を使わない手書きアプリでは、ノートの罫線に収まる細かい文字をしっかり書くことが出来ます。NoteshelfやUpadなどでは、拡大機能を使わなくとも細かい文字が書けますが、Bamboo Paperなどに比べて反応が悪いようで、早く書くと認識されないこともしばしばです。
もう少し使い込んでみたいと思います。

Jotのreview動画もYouTubeで出始めているようです。







No More Finger Painting!

2011年9月25日日曜日

texlive 2011のdvipdfmxで用紙サイズが変

texlive 2011に追加日本語化パッチを当てたものをコンパイルして使っています。
dvipdfmxでpdfファイルを作成すると、ドキュメントクラスのオプションで指定しているはずの用紙サイズが反映されていないことに気づきました。ドキュメントクラスはjsbookを使っています。解決策は、オプションにpapersizeを追加するだけです。つまり

\documentclass[papersize,a4paper,11pt]{jsbook}

と記述しておけば用紙サイズがきちんと反映されます。

2011年9月12日月曜日

Soundtrack from Sad Song For Ugly Daughter

音源が欲しい。ライブ会場に行けないので通販で売ってくれないかな。

2011年9月2日金曜日

ノート購入

最近文房具店などでノートを購入するのにハマっています。

普段気兼ねなく利用出来るのは無印良品の上質紙を使ったA5サイズノートです。
ファミリーマートで購入出来るので手に入れやすいところも良いです。今は複素関数論の復習ノートに使っています。

Lie群の勉強ノートにはzequenzのA5版の薄めのものを使っています。以前厚めのものを購入したのですが、はじめの方のページが書きづらかったためほとんど使っていません。
このノートは360°折り返して使えるのが売りなのですが、売り場見本が無残にバラけているところを見たことがあります。

この間ロフトに立ち寄ったとき、daycraftのsignature notebookを見た目で衝動買いしてしまいました。daycraftのwebページでは表紙が革で硬そうに見えるのですが、実物はプニプニしています。

今現在ルベーグ積分の勉強ノート3冊目にmaruman cover note A5のカバー無しを使っていますが、無印のノートより書き心地がよかったです。しかしコストは3倍近くかかります。

また数ヶ月前にLettsのNoteletts ロフトコラボレーションモデル(イギリス国旗が表紙のもの)を一冊購入したのですが、200ページくらいあってまだ用途が決まっていません。今のところ関数解析と偏微分方程式論の勉強ノートにしようと考えていますが、厚すぎて持ち歩きに不便かもです。関数解析や偏微分方程式の本ってただでさえ厚いものが多いですし。

今のところノートについては浮気をしまくりで定まったものを使っていません。これからもいろいろ試してみたいと思います。

ちなみに、ペンはuni-ball signo 極細0.38mmがおすすめです。ここ数年はこのペンに落ち着いていて、無くなると数箱まとめ買いをしています。

2011年6月29日水曜日

YaTeXとRefTeXの共存

RefTeXは相互参照の入力補完を行うelispです。長い原稿を書く際には必需で、これなしではやってられません。YaTeX側にはprefixキーを自由に選択できる余地があるのですが、RefTeXはAucTeXと合わせて使うことを前提としているためか、prefixキーがCtrl-cに固定されています。YaTeXの幾つかのコマンドと重複して使いづらいので、現在はYaTeXのコマンドをメインにして、RefTeXのキーを変更して使っています。

対処療法的なところがあるのであまりオススメはしませんが、Web上でこのような情報をあまり見かけないので.emacs.elを晒しておきます。本当はRefTeXにも自由に変更出来るprefixキーを定義するなどの変更を行うべきなのでしょうが、elispが読み書き出来無いのでこの程度で勘弁してください。


;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;; RefTex 
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;

;; YaTeX-modeでReftex-modeを使う.
;; YaTeX-modeでの色使いを変更する
(add-hook 'yatex-mode-hook
'(lambda()
(progn
;               (reftex-mode)       ; reftex-modeを使う
(turn-on-reftex)
(setq TeX-parse-self t)
;               (setq-default Tex-master nil)
(setq enable-local-variables t)
(YaTeX-font-lock-recenter)
)))


;;数式のラベル作成時にも自分でラベルを入力できるようにする
(setq reftex-insert-label-flags '("s" "sfte"))


;;; YaTeXとの競合の解消 (競合部分はYaTeXを優先する)
;; YaTeXでのコマンドの定義は"yatex.el"の"Define key table"部分を参照せよ

(add-hook 'yatex-mode-hook
#'(lambda ()
(reftex-mode 1)
(define-key reftex-mode-map
(concat YaTeX-prefix ">") 'YaTeX-comment-region)
;指定領域のコメントアウト "C-c >"
(define-key reftex-mode-map
(concat YaTeX-prefix "<") 'YaTeX-uncomment-region)
;コメントアウト解除 "C-c <"
(define-key reftex-mode-map  (concat YaTeX-prefix ")") 'YaTeX-insert-parens-region)
;領域を括弧で括る "C-c )"
))


;; 上でYaTeXに譲り渡したRefTeXのコマンドを定義し直す  
;;;;; labelの参照のコマンドを"C-c )"から"C-h )"に変更(暫定的)
(add-hook 'reftex-mode-hook
 '(lambda ()
               (define-key reftex-mode-map "\C-h)" 'reftex-reference)
               (define-key reftex-mode-map "\C-h=" 'reftex-toc)
               (define-key reftex-mode-map "\C-h(" 'reftex-label)
               (define-key reftex-mode-map "\C-h[" 'reftex-citation)
               (define-key reftex-mode-map "\C-h<" 'reftex-index)
               (define-key reftex-mode-map "\C-h>" 'reftex-display-index)
               (define-key reftex-mode-map "\C-h/" 'reftex-index-selection-or-word)
               (define-key reftex-mode-map "\C-h\\" 'reftex-index-phrase-selection-or-word)
               (define-key reftex-mode-map "\C-h|" 'reftex-index-visit-phrases-buffer)
               (define-key reftex-mode-map "\C-h&" 'reftex-view-crossref)
))

;;;

;;; C-h&でhyperlink, hypertarget間の相互ジャンプを可能にする

(setq reftex-view-crossref-extra
'(("\hyperlink" "\hypertarget{\\(%s\\)}" 1)
("\hypertarget" "\hyperlink{\\(%s\\)}" 1)))


;;; 新たなlabel環境の定義

;; \eqrefを使う
(setq reftex-label-alist 
'(
(nil ?e nil "\\eqref{%s}" nil nil)
("theo"  ?h "theo:"  "\\ref{%s}" t ("定理"))
("axiom"  ?a "axiom:"  "\\ref{%s}" t ("公理"))
("prop"  ?p "prop:"  "\\ref{%s}" nil ("命題"))
("lem"   ?l "lem:"   "\\ref{%s}" nil ("補題"))
("defi"  ?d "defi:"   "\\ref{%s}" nil ("定義"))
("coro"  ?c "coro:"   "\\ref{%s}" nil ("系"))
))

YaTeXで数式括弧の大きさ変更

LaTeX数式で大きさ指定の括弧を書くとき、毎回\bigg(\bigg)などと記述するのは結構面倒なものです。
普段からYaTeXを使っているのですが、括弧の大きさを変更出来る機能があることを最近初めて知りました。

\Bigl( ... \Bigr) などのような括弧の上で [prefix] c と打鍵し、l,L,h,H,r,nの中から好きなものを選択すると括弧の大きさを変更できます。ただし YaTeX-use-AMS-LaTeX を t にしておくことと、 \Big(\Big)のような記述では反応しないので注意が必要です。

2011年6月19日日曜日

お気に入りノート

先日LoftでRoessler Papier社のFlipBookを購入して大変に気に入ったのですが、この間Loftに立ち寄ると既に取り扱いが終わっているようでした。
Webで検索しても海外のサイトしか表示されないし、国内で取り扱っていないのでしょうか。
個人的にはモレスキンよりも好みなのですが。

2011年5月25日水曜日

閉塞感

ここ数年はほとんど音楽を聴く気が起きず、CDも一年に数枚から数十枚くらいしか購入していなかったのですが、ここ1ヶ月くらいで既に20枚ほどCDを購入しました。ただ昔に比べて雑誌を読まなくなったので、新しいバンドやアーティストではなく、過去の作品が多くなりがちです。

久しぶりにタワーレコードにいって試聴しまくってきました。
やはり予備知識無しの衝動買いは新鮮でいいですね。
 そんな中良い感じだったのがBenny Singsの"ART"とVery Truly Yoursの"things you used to say"です。どちらも全く知らなかったのですが、過去の作品も気になるところです。
しかし昔に比べて興味の幅が狭くなっていることは否めません。 ジャンルが偏ってきたので新しいところへ斬り込んでいきたいのですが、なかなか見つかりません。

そんなわけでBenny Singsの"ART"からの1st singleらしい"Big Brown Eyes"を貼りつけておきます。CDバージョンと曲が全然違うような気がしますが…


試聴したものの、スルーしてしまったのがSTARFUCKERの"Repitalians"ですが、PVを見たら凄くよかったのでチェックしなければ。さすがのPolyvinylクオリティーです。

しかしPolyvinylのHPを見たところ、Starfuckerといい、Asobi Seksuといい、名前がどうにかならんのでしょうか。後者は日本デビュー出来るのか。


また、いつものようにQ and not Uの解散後の動向を調べてみたところ、John DavisがLaura Burhennという人とGeorgie Jamesというデュオを組んでアルバムを作成していたようです。こちらも既に解散済みで、Davisはtitle tracksというバンドを組み、Laura BurhennはMynabirdsというソロプロジェクトで作品を出しているようです。しかしこのGeorgie Jamesのアルバム"Places"が非常に良いアルバムなので、PVを貼りつけておきます。
曲は3曲目の"Need your Needs"です。Q and not Uの面影が残るポップな名曲だと思います。まあ、Q and not Uっぽいのはこの曲だけですが。


Q and not Uもついでに。


dischordつながりでfaraquetやmedicationsもよさげなので今度購入しよっと。

2011年5月22日日曜日

ルベーグ積分のお勉強2

ルベーグ積分の勉強をしばらく放棄してしまっていたのですが、最近またやる気が出てきたので集中的にやっております。

多くの教科書で $\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{\pm \infty\}$ に値を取る可測関数を扱っていて、可測関数の和や積が可測関数であることを証明する命題などがあるのですが、それらの中で $0\cdot \infty =0$ を採用して話を単純化するものが多いようです。

自分としては最初に伊藤清三氏の本を読んだため、この規約を採用したくない気分でいっぱいです。$0\cdot \infty$ の演算は主に次のような場面で現れます。

(1) 積測度
$(X, \mathscr{M}, \mu)$, $(Y, \mathscr{N}, \nu)$ を測度空間とし、$E\in \mathscr{M}$, $F\in \mathscr{N}$ をそれぞれ $\mu(E)=0$, $\nu(F)=\infty$ なる集合とするとき、$X\times Y$上の測度 $\pi$ の持つ性質として $\pi(E\times F)=\mu(E)\times \nu(F)=0$ となるべきというもの。

これは至極もっともな要請で、そうでなければいけないということが確信出来ます。

(2) 関数値の積
$(X, \mathscr{M})$ を可測空間とし、$f, g$ を $\mathscr{M}$ 可測関数とするとき、ある$x\in X$ に対して $f(x)=0$, $g(x)=\infty$ となった場合の $f(x)g(x)$ の値。

最初はこの状況を正当化する理由がよくわからなかったのですが、積分を定義する際に可測関数は単関数で近似するため、上のような $x\in X$ に対して $f_n(x)=0$, $g_n(x)=2^n$ なる値を取る関数列の極限として考えれば、$f(x)g(x):= \lim\limits_{n\to \infty} f_n(x)g_n(x) =0$ とすることで正当化出来そうです。
また柴田氏の教科書では、$X$ の部分集合 $A\in \mathscr{M}$ 上での $f$ の積分を考えるときに、$A$ の定義関数 $\chi_A(x)$ を使って $\int_X \chi_A f\, d\mu =\int_A f\, d\mu$ と定義してあるので、関数値の$0\cdot \infty =0$を避けることが出来ません。

(3) スカラー倍と積分の順序交換
可測関数 $f$ の積分が発散する場合、つまり $\int_X f\, d\mu =\infty$ であるとき、$c\int_X f\, d\mu = \int_X cf\, d\mu$ が $c=0$ に対しても成り立つべきか。

個人的にはこれが正当化される理由がイマイチよくわかりません。測度空間 $(X, \mathscr{M}, \mu)$ を $\sigma$有限とし、$\{X_k\}_{k\in \mathbb{N}}$ を $\mathscr{M}$ の集合列で $\mu(X_k)<\infty$ $(k\in \mathbb{N})$ なるものとするとき、$\int_X f\, d\mu =\lim\limits_{k\to \infty} \int_{X_k} f\, d\mu$ と定義することで正当化出来そうな気はしますが、それだと $f$ や $\{X_k\}$ の選び方にも依存しそうな気がしたり、そもそもルベーグ積分を広義積分のように定義すべきなのかという点も疑問です。

(3) を正当化出来る理由がすっきりするとよいのですが、ここでの$0\cdot \infty$ は個人的に避けたい気分です。柴田良弘氏の「ルベーグ積分論」では積測度の構成において積分の結果を使っており、その中で(3)の形の計算を使っています。かと言ってこれを避けると、伊藤清三氏の教科書にある長々とした積測度の議論を行う必要があり悩ましいところです。

2011年5月21日土曜日

MathJaxで数式を表示(ブラウザがIEの方は要注意)

MathJaxを使えば、LaTeX のコマンドで数式を記述すると、その HTML ファイルをブラウザで見たときに LaTeX のコマンドで書かれた部分が自動的にきれいな数式に置き換わるのだそうです。そこで黒木玄さんのMathJaXの使い方 を参考に導入してみました。

ブログのサーバにMathJaXがインストールされていなくても、MathJaXのサーバを介して数式を変換してくれるサービスがあるそうで、それを利用している模様です。ブラウザはFirefoxやGoogle Chromeならば問題ないそうです。FirefoxはChromeに比べて表示速度が少し遅いように感じます。

ブラウザにIEを使っていると表示に異常に時間がかかるそうなのでご注意ください。

テストを兼ねて、しょうもない命題の証明を一つ載せておきます。
伊藤清三氏の「ルベーグ積分入門」P.14, 15の$\mathfrak{I}_N$-集合関数 $\mu$ がwell-definedであることの証明で$E\in \mathfrak{I}_N$ を細分割するところの論法と、p.57 の補助定理1で同じく$K\in \mathfrak{F}$ を細分割して
\begin{equation}
\begin{cases}
K=(E_1\times F_1)+\dotsb +(E_n \times F_n), \\
j\neq k \,\text{ ならば }\, E_j\cap E_k =\emptyset
\end{cases}
\end{equation} となるように取れるということの証明に使われている論法が、以前から直感的過ぎると感じていて釈然としていなかったのですが、ここに示す命題の結果を使えば多少明解になるのではないかと思います。同じところで気持ちの悪さを感じていた人がいるかもしれないので載せておきます。


$X$ を一般の集合とする.$X$ の部分集合 $E$ に対して次の記号を導入する.即ち,$E^1 =E$, $E^{-1}=E^c$と定義し,$E^\alpha$ で $\alpha=1, -1$ に対してそれぞれ $E$, $E^c$ を表すものとする.また,有限個の $X$ の部分集合 $E_1, \dots , E_N$ に対して多重指数 $\alpha:=(\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_N)$ $(\alpha_k=\pm1;\ k=1,\dots, N)$ を定義し,$\alpha$ が $N$ 成分から成るときには $|\alpha|=N$ と表す.この多重指数 $\alpha$ を用いて $X$ の部分集合 $E^\alpha$ を
\begin{equation}
E^\alpha :=E^{\alpha_1}_1 \cap E^{\alpha_2}_2 \cap \dotsb \cap E^{\alpha_N}_N
\end{equation} の形をした集合として定義する.例えば,$|\alpha|=3$, $\alpha=(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)=(1, 1, -1)$ の場合には $E^\alpha=E_1^1 \cap E_2^1 \cap E^{-1}_3 = E_1\cap E_2\cap E_3^c$ を表す.また多重指数の全ての成分が $-1$ であるとき,$\alpha=-1$ と定義する.つまり $(-1,-1, \dots, -1):=-1$ と表記する.すると $\alpha =-1$ の場合は $E^{-1}=E_1^c \cap E^c_2\cap \dots \cap E^c_N
=\big(\bigcup_{i=1}^N E_i\big)^c$ なる集合を表す.

さらに, $\alpha=(\alpha_1, \dots , \alpha_N), \beta=(\beta_1 ,\dots , \beta_M)$ を2つの多重指数とするとき,$\alpha=\beta$ はその全ての成分が等しいことと定義する.即ち,$\alpha =\beta$ ならば,$|\alpha|=N=M=|\beta|$ であり,$\alpha_k =\beta_k$ $(k=1,\dots, N)$ が成り立つとする.これは,$\alpha\neq \beta$ ならば $|\alpha|\neq |\beta|$ であるか,もしくは $\alpha_k \neq \beta_k$ なる $k$ が少なくとも1つ存在することを意味する.

このとき次の命題が成り立つ.

命題   $X$ を集合とし,$E_1, \dots , E_N$ を $X$ の部分集合とする.
$E^\alpha =E^{\alpha_1}_1 \cap E^{\alpha_2}_2 \cap \dotsb \cap E^{\alpha_N}_N$ の形をした集合は,2つの多重指数 $\alpha, \beta$ $(|\alpha|=|\beta|=N)$ に対して,$\alpha \neq \beta$ ならば $E^\alpha\cap E^\beta=\emptyset$ であり,
\begin{equation}
{\textstyle\bigcup\limits_{\substack{\alpha\neq -1\\ |\alpha|=N}}}E^\alpha
={\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^N}E_i
\end{equation} が成り立つ.但し左辺は $\alpha\neq -1$ かつ $|\alpha|=N$ であるような多重指数 $\alpha$ 全体に関しての和集合である.

証明   $N$ に関する帰納法で証明する.まず $N=2$ とする.このとき件の集合は
\begin{equation}
E^{(1, 1)}=E_1\cap E_2, \quad E^{(1, -1)}=E_1\cap E^c_2, \quad
E^{(-1, 1)}=E_1^c \cap E_2
\end{equation} の3種類である.このとき,$\alpha\neq \beta$ ならば明らかに $E^\alpha\cap E^\beta=\emptyset$ が成り立っている.さらに $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$ などから,
\begin{align}
& E^{(1, 1)}\cup E^{(1, -1)}\cup E^{(-1, 1)}\\
&= (E_1\cap E_2)\cup(E_1\cap E^c_2)\cup (E_1^c \cap E_2)\\
&=[E_1\cap(E_2\cup E_2^c)]\cup(E_1^c \cap E_2)
=E_1 \cup(E_1^c \cap E_2)\\
&=(E_1\cup E_1^c)\cap (E_1 \cup E_2)\\
&=E_1\cup E_2
\end{align} となり,命題が成り立つ.

次に $N$ の場合に命題が成り立つと仮定し,$N+1$ の場合を証明する.$E_1,\dots , E_{N+1}$ を $X$ の部分集合とする.$\alpha^\prime, \beta^\prime$ は $|\alpha^\prime|=|\beta^\prime|=N+1$ なる多重指数とし,$E^{\alpha^\prime}$ は
\begin{equation}
E^{\alpha^\prime}=E_1^{\alpha^\prime_1}\cap E_2^{\alpha^\prime_2}\cap
\dotsb \cap E_{N+1}^{\alpha^\prime_{N+1}}
\end{equation} なる形の集合とする.まず $\alpha^\prime \neq \beta^\prime$ ならば,$\alpha^\prime_k \neq \beta^\prime_k$ なる $k$ ($k=1,\dots, N+1$) が少なくとも1つ存在し,$\alpha_k^\prime$, $\beta^\prime_k$ は互いに逆符号の値を取るため
$E_k^{\alpha^\prime_k}\cap E_k^{\beta^\prime_k}
=E_k\cap E_k^c =\emptyset$ である.従って
\begin{align}
& E^{\alpha^\prime}\cap E^{\beta^\prime}\\
&=E_1^{\alpha^\prime_1}\cap \dotsb \cap E^{\alpha^\prime_k}_k\cap
\dotsb \cap E_{N+1}^{\alpha^\prime_{N+1}}
\cap E_1^{\beta^\prime_1}\cap \dotsb \cap E^{\beta^\prime_k}_k\cap
\dotsb \cap E_{N+1}^{\beta^\prime_{N+1}}\\
&=\emptyset
\end{align} となる.また,$\alpha^\prime \neq -1$ なる多重指数 $\alpha^\prime$ に対し $E^{\alpha^\prime}$ は
\begin{equation}
E^{\alpha^\prime}=
\begin{cases}
E^\alpha \cap E_{N+1} &(|\alpha|=N,\ \alpha\neq -1)\\
E^\alpha \cap E^c_{N+1}&(|\alpha|=N,\ \alpha\neq -1)\\
\bigg({\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^N} E_i\bigg)^{\!\!c} \cap E_{N+1}
\end{cases}
\end{equation} のいずれかの形に表せる.従って,帰納法の仮定より
\begin{align}
{\textstyle\bigcup\limits_{\substack{\alpha^\prime\neq -1\\
|\alpha^\prime|=N+1}}}E^{\alpha^\prime}
&= \Bigg({\textstyle\bigcup\limits_{\substack{\alpha\neq -1\\ |\alpha|=N}}}
(E^\alpha\cap E_{N+1})\cup(E^\alpha\cap E_{N+1}^c)\Bigg)
\cup \bigg[\bigg({\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^N} E_i\bigg)^{\!\!c} \cap E_{N+1}\bigg]\\
&=\Bigg({\textstyle\bigcup\limits_{\substack{\alpha\neq -1\\ |\alpha|=N}}}
E^\alpha\cap (E_{N+1}\cup E_{N+1}^c)\Bigg)
\cup \bigg[\bigg({\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^N} E_i\bigg)^{\!\!c}
\cap E_{N+1}\bigg]\\
&=\Bigg({\textstyle\bigcup\limits_{\substack{\alpha\neq -1\\ |\alpha|=N}}}
E^\alpha\Bigg)
\cup \bigg[\bigg({\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^N} E_i\bigg)^{\!\!c}
\cap E_{N+1}\bigg]\\
&=\bigg({\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^N}E_i\bigg)
\cup \bigg[\bigg({\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^N} E_i\bigg)^{\!\!c}
\cap E_{N+1}\bigg]\\
&=\bigg[\bigg({\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^N}E_i\bigg)\cup
\bigg({\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^N} E_i\bigg)^{\!\!c} \bigg]
\cap\bigg[
\bigg({\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^N} E_i\bigg)\cap E_{N+1}\bigg]\\
&=
\bigg({\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^N} E_i\bigg)\cap E_{N+1}
={\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^{N+1}} E_i
\end{align} となり,$N+1$ の場合にも命題を満たす.以上で任意の自然数 $N$ に対して命題が成り立つことが示された.$\square$


数式上で右クリックすると、LaTeXソースを表示出来るので、数式のコピー&ペーストが容易に行えるのも特徴のようです。醜いソースを書かないように心がける必要も出てきそうです。

ルベーグ積分論のお勉強

 柴田良弘氏著の「ルベーグ積分論」を使ってルベーグ積分の勉強をしています。
この本の第1章でリーマン積分の復習を足早に行っていますが、リーマン可積分の必要十分条件を述べる段階で通常の微積分の本には載っているであろうDarbouxの定理が独立した定理として扱われていません。この本の定理1.6.3は

(1) 関数 $f(x)$ は区間 $[a, b]$ 上でリーマン可積分である。

(2) $\displaystyle \sup_{\mathit{\Delta}}\, s_{\mathit{\Delta}} =\inf_{\mathit{\Delta}} \, S_{\mathit{\Delta}}$

(3)任意の $\epsilon >0$ に対して $S_{\mathit{\Delta}} -s_{\mathit{\Delta}} < \epsilon$ を満足する $[a, b]$ の分割 $\mathit{\Delta}$ が存在する。


という3条件が同値であることを述べた定理ですが、(3)から(1)を証明する部分が間違っていると思われます。ここがDarbouxの定理に相当する内容なのですが、この本の証明では、(3)の条件を使って $S_{\mathit{\Delta}_1} - s_{\mathit{\Delta}_1} <\epsilon$ を満たす分割 $\mathit{\Delta}_1$ を固定した後、(1)を証明するために必要な正数 $\delta$ を定義してあるのに、いつの間にか分割 $\mathit{\Delta}_1$ の幅 $\lvert \mathit{\Delta}_{1} \rvert =\max\limits_i \lvert x_i -x_{i-1}\rvert$ が $\delta$ よりも小さいということを使って議論を進めてしまっています。(3)の条件は分割の存在について言及しているだけで、分割の幅の大きさについては何ら言及していないので、この証明は使えないと思われます。そういう訳で、通常通りDarbouxの定理を用いて(2)から(1)を証明するほうがよいのではないでしょうか。
 また区間とリーマン積分の値に同じ記号 $I$ を使っているのも気にかかります。

2011年5月12日木曜日

maritime 新譜の日本版は5/25発売

表題通り、maritimeの新譜"Human Hearts"の日本版がcontraredeから発売される模様です。もうちょっと早く出しておくれよ。輸入買ってしまったよ。名作なので聴くべし。
contraredeは小林英樹氏と54-71のメンバーが立ち上げたレーベルらしいです。全然知らなかった。小林氏の名前はライナーノーツでよく拝見していたのですが、レコード屋の店長だったということも初めて知りました。

2011年3月30日水曜日

Death Cab For Cutieの新作は5/31発売

タイトルの通り、Death Cab For Cutieの新作"Codes And Keys"が5/31にリリースされる予定だそうです。
新作からの楽曲“You Are A Tourist”をここで視聴することが出来ます。
そういえば前作をまだ買ってなかった気がする。

2011年3月28日月曜日

Maritime 新譜は4/5発売

待ってました。
Maritimeの新譜"Human Hearts"が4/5に発売とのこと。
MySpaceから2曲目の"Paraphernalia"が視聴出来ます。期待度高し。
もしまた来日するなら、今度は公開しないよう絶対行きます。
来日してくれ〜。

PVも発見したので貼り付け。



追記:4/5
Myspaceで全曲試聴が出来るようです。登録を行わなければ曲頭30秒のみの再生となります。
うれしすぎて冷静な判断がまだ出来ませんが、個人的には前作よりも好きです。名作の予感。