2013年1月25日金曜日

Lebesgue積分と線形位相空間のお勉強

Lebesgue積分論について長らく勉強していますが、Fubiniの定理、Lebesgueの微分定理、変数変換公式についてある程度勉強ノートがまとまったので、恥をかくのを承知でここに晒しておきます。
数学の素人のノートなので内容は無保証です。変数変換公式については和書であまり見かけないので、頑張って書いたつもりです。

基本的には柴田良弘氏の「ルベーグ積分論」を読む際に、自分で理解し辛い部分を補って、文面をなぞるだけで証明の論理は理解出来るようにすることを目的としています。そのため原著よりもかなりクドくなっています。また章立てから文章までほぼ丸パクリです。ところどころ書くのが面倒になって放置しているところがありますので、柴田氏の本を購入して、理解を補うような形で使用して頂けるのではないでしょうか。

注意点としては、無限大についての演算は伊藤清三氏の本を基準としたため、拡張された実数に値を取る可測関数の積を実数値可測関数列の極限として定義していることや、ほとんど至るところ等しい可測関数に対して同値関係を入れて同一視することをしていないため、Fubiniの定理の証明や見た目が普通の本とかなり違うと思います。これは個人的に同一視無しで一度証明してみたかっただけなので、多くの人に取っては弊害にしかならないと思います。変数変換公式については、Fubiniの定理を用いない形で証明しています。もう少しシンプルになりそうな気がしていますが、疲れたのでそのままにしています。

2013/03/01:追記 ノートをアップデート。Trevesの超関数の本の第5節までの勉強ノートを追加。

2013/03/23:追記 ノートをアップデートに伴い、旧版の公開を取りやめました。
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2014/05/11:追記 ノートの最新版は,ラベルの「勉強ノート」をクリックして投稿を表示してみてください.