2014年3月20日木曜日

ルベーグ積分と線型位相空間の勉強ノート part 5

久しぶりの勉強ノート更新です.
ここに置いておきます.

追記:2014/06/12 新しいノート作成に伴い,旧版の公開を取りやめました.
新しいノートはラベルの「勉強ノート」もしくは「関数解析」からどうぞ.


細かい部分を色々変更し過ぎて変更点が全て把握出来ていませんが,

  1. 微分法とリーマン積分の項目を大幅増加
  2. 拡張された実数のボレル集合を定義,可測関数の定義をより一般的なものに
  3. ほとんど至る所等しい関数の同値類を定義
  4. 自分の納得のいく範囲で$0\cdot\infty =0$の正当化の説明を追加
  5. 集合関数改め,符号付き測度と複素測度の項目を充実.Lebesgue-Stieltjes積分を追加
  6. 位相空間論で始位相や終位相の項目を追加
  7. 多変数複素関数論を見据えて,二重数列の内容を多重数列・多重級数にアップグレード
  8. Trevesの本の10章Frechet空間を追加
くらいでしょうか.位相ベクトル空間の勉強はあまり進んでいませんが,ページ数が900ページを超えました(汗).
Frechet空間の例で多変数正則関数の空間の項目があり,それを勉強するためにリーマン積分やら何やら色々復習しなおしています.載せる内容が発散してきており,収拾がつかなくなりつつあります.

$0\cdot \infty=0$の正当化をするために,積測度の項目をFubiniの定理の直前から測度論の部分に移しました.結果的に伊藤清三氏の本の配列に近くなりました.この議論は,ルベーグ積分を勉強している人にとっては多分有名な服部哲弥氏の講義ノートを参考にしました.拡張された実数上のボレル集合の定義も同講義ノートを参考にしています.

多重数列・多重級数の部分は,二重数列の記述に比べてかなりゴチャゴチャしたものになってしまったので,もう少しなんとかならないものかと考えています.

また,柴田良弘氏のルベーグ積分論の本は,FollandのReal Analysisを初等的なものに書き直したような雰囲気があります.そのためか柴田さんの本は被積分関数を基本的に(拡張された)実数値関数に限って議論していたり,Banach空間の双対空間の話題が無いなど,勉強を進めるにつれて,項目の配列はFollandの本のほうが個人的にしっくりくることが増えてきたので,Follandの本の流れに沿ってノートの再構築をしようと思案中です.

電子化しているとこういう点で融通が利くのでいいですね.
超関数の勉強を終える頃には2000ページくらいになっているかもしれません….