2014年12月18日木曜日

代数的トポロジーの勉強ノート

今回,昔つくっていた勉強ノートを元に復習を兼ねてTeX化してみました.
ここに置いておきます.

追記:2016/05/02 定理の引用番号がおかしくなっていたのを修正しました.

追記:2016/04/16 定理環境の枠囲みをmdframed.styからtcolorbox.styに変更しました.文章中の妙な改ページが無くなっていると思います.

追記:2016/03/07 フォントの大きさを変更しました。内容はほとんど変わっていません。商空間についての記述が若干増えたくらいです。

追記:2015/09/26 ホモトピーの定義域についての図と、被覆空間についての模式図を幾つか追加しました。可換図が上手く書けなくて保留中だった被約ホモロジー群のMayer-Vietoris完全列の証明を追加しました。

追記:2015/04/13 被覆空間と被覆変換群の項目を少し追加しました.少しダレてきたので,気分を変えるために一様位相空間についての勉強を始めたため,1月くらいは進捗がありません.Trevesのノートは一様空間を導入すれば,線型性を使っていない部分が一様空間の話として片付くようなので,整理のし直しです.最初は宮島さんの関数解析の本と岩波の数学辞典を参考にしていましたが,ブルバキを買ったほうが良さそうなのでブルバキの位相と位相線型空間を購入して勉強しています.局所凸空間の族の帰納極限なんかもブルバキの記述の方がすっきりしてそうなので,Trevesの記述で不満なところをブルバキで補いながら進めたいと考えています.リーマン積分を復習して,多変数複素関数論の初歩的なところを勉強し,正則関数の成す関数空間の話も取り入れたいところです.
被覆空間の一般論をすれば,Forsterのリーマン面の本がある程度読めるようになるかもしれないな.

追記:2015/02/28 普遍被覆空間の項目を追加しました.河澄さんの講義ノートでは,普遍被覆空間の定義がよくみる教科書とは異なっていて,基本亜群を使った定義のためややこしそうで敬遠していたのですが読んでみると面白いです.
普遍被覆空間の構成法についてはきれいさっぱり忘れなさいと書いてあるし.
被覆空間の定義についてもシンガー・ソープや松本さんのトポロジー入門と比べて制限がきつそうに見えたのだけれど,普遍被覆空間の項目を読んでこれで良さそうに思えたので全面的に書き直しです.適宜絵も作って入れていかないとな.

追記:2015/02/15 ホモトピー群の定義と基本亜群の定義などを追記しました.ホモトピー群の積を直接でなくH空間経由で扱っている部分がややこしいです.やっぱり直接定義したものも計算しておくべきですね.次は被覆空間だ.

追記:2015/01/31 貼り合わせの補題の証明がちょっと何言ってんのか分かんない状態だったのを修正しました.ついでに基本群の定義あたりまでの内容を追加しました.

追記:2014/12/28 pdfの索引のハイパーリンクがずれまくっているのを修正しました.




最近は大昔に作った代数的トポロジー(位相幾何学)のノートを整理していました.
教科書も何冊か持ってはいるのですが,どれも興味ある結果にたどり着くまでの過程が長く,代数が苦手なこともあってあまり勉強が進みません.

東大の河澄さんが講義を担当されている期間に講義ノートを公開されていますが,位相幾何学の講義ノートは興味を持続させるように話題が上手く配列されていると思います.

序盤にホモロジー群の持つ性質を仮定して,そこから導かれる面白そうな性質を幾つか証明をし,その後ホモロジー群の持つ性質の証明に移っています.目の前に餌をちらつかせておいて,苦行を乗り越えさせる構成になっているので,代数嫌いの私でもそこそこ忍耐力が続きました.

以前に勉強していたときには,Mayer-Vietoris完全列の証明で力尽きて,その後ホモトピー論に再挑戦して松本幸夫さんの教科書を併読しながらvan Kampenの定理の証明まで進むものの,全く記憶に残っていない状態です.基本群と被覆空間についても,昔にLie群の単連結被覆群の存在証明を行うためにかいつまんで勉強したのですが,あまり身になっていないようです.

ノートの位相空間論の部分はLebesgue積分のノートと共通しています.
河澄さんの講義ノートは行間が少ないのでほとんど丸写しになっているところも多いと思います.環や加群などの代数の話題についても書き足す予定です.幾つかの超球面のホモトピー群の決定や,Euler数,多様体の基本類あたりの話題まではなんとかたどり着きたいと思います.代数はツラい….

加群の構造定理についても松坂さんの「代数系入門」を勉強してノートを作ったのですが,まだモヤモヤ感が強いので勉強し直しです.